সংখ্যা তত্ত্ব (Number System)
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য এই পোস্টে গণিতের গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় সংখ্যা তত্ত্ব (Number System) সম্পর্কে প্রয়োজনীয় ধারণা, সূত্র ও সহজ পদ্ধতিতে সমাধানের কৌশল আলোচনা করা হয়েছে। এখানে নাম্বার সিস্টেমের বিভিন্ন ধরনের প্রশ্ন তুলে ধরা হয়েছে। সমাধানগুলো AI দিয়ে করা আছে।
এই অধ্যায়টি SSC GD, SSC MTS, WBP Constable, RRB Group D, RRB NTPC, PSCWB সহ বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার Mathematics প্রস্তুতির জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
1. 2843 সংখ্যাটিতে 8 এবং 4-এর স্থানীয় মানের (place value) মধ্যে পার্থক্য কত?
- (A) 760
- (B) 840
- (C) 820
- (D) 740
ব্যাখ্যা: 8 এর স্থানীয় মান 800 এবং 4 এর 40। পার্থক্য = 800 - 40 = 760।
2. 1,49,392 সংখ্যাটিতে থাকা 9-এর দুটি স্থানীয় মানের মধ্যে পার্থক্য কত?
- (A) 0
- (B) 9010
- (C) 8910
- (D) 90
ব্যাখ্যা: প্রথম 9 (হাজারের ঘরে) = 9000, দ্বিতীয় 9 (দশকের ঘরে) = 90। পার্থক্য = 9000 - 90 = 8910।
3. 526381 সংখ্যাটিতে 6 অঙ্কটির স্থানীয় মান (place value) এবং প্রকৃত মানের (face value) মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করুন।
- (A) 5994
- (B) 6000
- (C) 0598
- (D) 5990
ব্যাখ্যা: 6 এর স্থানীয় মান = 6000 এবং প্রকৃত মান = 6। পার্থক্য = 6000 - 6 = 5994।
4. 49.247 সংখ্যাটিতে ডানদিকের 4-এর স্থানীয় মান, বাঁদিকের 4-এর স্থানীয় মানের কত গুণ?
- (A) 10²
- (B) 10⁻²
- (C) 10³
- (D) 10⁻³
ব্যাখ্যা: বাঁদিকের 4 এর মান 40। ডানদিকের 4 এর মান 0.04 (বা 4/100)। গুণ = 0.04 / 40 = 1/1000 = 10⁻³।
5. নীচের কোন সংখ্যাটি 9 অথবা 11 কোনোটি দ্বারাই বিভাজ্য নয়?
- (A) 4950
- (B) 7425
- (C) 7623
- (D) 7841
ব্যাখ্যা: 7841 এর অঙ্কগুলির যোগফল 20, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়। আবার, (7+4)-(8+1) = 2, যা 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
6. নীচের কোন সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়?
- (A) 3658
- (B) 3789
- (C) 7857
- (D) 1845
ব্যাখ্যা: 3658 এর অঙ্কগুলির যোগফল = 3+6+5+8 = 22, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
7. নীচের কোন সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 2342
- (B) 1570
- (C) 1734
- (D) 4348
ব্যাখ্যা: 4 দ্বারা বিভাজ্যতার শর্ত হলো শেষ দুটি অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। 4348 এর শেষ দুটি অঙ্ক 48, যা 4 দ্বারা বিভাজ্য।
8. 73P2 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য। নীচের কোনটি P-এর মান হতে পারে না?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 5
- (D) 9
ব্যাখ্যা: 8 দ্বারা বিভাজ্য হতে শেষ 3টি অঙ্ক বিভাজ্য হতে হবে। P=0 হলে 302, যা 8 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
9. 58P8 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য। P-এর মান কত?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 7
- (D) 6
ব্যাখ্যা: অঙ্কগুলির যোগফল = 5+8+P+8 = 21+P। 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে 21+P কে 27 হতে হবে, তাই P = 6।
10. 84P6 সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য। এদের মধ্যে কোনটি P-এর মান হতে পারে না?
- (A) 0
- (B) 3
- (C) 9
- (D) 7
ব্যাখ্যা: 6 দ্বারা বিভাজ্য হতে সংখ্যাটিকে 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যোগফল 18+P। P=7 হলে 25, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
11. নীচের কোন সংখ্যাটি 4 অথবা 9 কোনোটি দ্বারাই বিভাজ্য নয়?
- (A) 10263
- (B) 10260
- (C) 10116
- (D) 10296
ব্যাখ্যা: 10263 এর শেষে 63 (4 দ্বারা বিভাজ্য নয়) এবং যোগফল 12 (9 দ্বারা বিভাজ্য নয়)।
12. নীচের কোন সংখ্যাটি 3 এবং 11 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য?
- (A) 10010
- (B) 10131
- (C) 10340
- (D) 10233
ব্যাখ্যা: 10131 এর যোগফল 6 (3 দ্বারা বিভাজ্য)। একান্তর যোগফলের বিয়োগফল = (1+1+1) - (0+3) = 0 (11 দ্বারা বিভাজ্য)।
13. নীচের কোন সংখ্যাটি 33 দ্বারা বিভাজ্য নয়?
- (A) 2156
- (B) 2145
- (C) 2013
- (D) 1914
ব্যাখ্যা: 33 দ্বারা বিভাজ্য হতে 3 ও 11 উভয়ের দ্বারাই বিভাজ্য হতে হবে। 2156 এর যোগফল 14, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
14. চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 1003
- (B) 1007
- (C) 1009
- (D) 1013
ব্যাখ্যা: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 1000। 1000 কে 17 দিয়ে ভাগ করলে 14 ভাগশেষ থাকে। 1000 + (17-14) = 1003।
15. 95P9 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য। P-এর মান কত?
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 7
- (D) 9
ব্যাখ্যা: যোগফল = 9+5+P+9 = 23+P। P=7 হলে 30 হয়, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। (বিকল্পগুলোর মধ্যে 7 সঠিক)।
16. নীচের কোন সংখ্যাটি 88 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 2776408
- (B) 2776400
- (C) 2767440
- (D) 2767416
ব্যাখ্যা: 88 মানে 8 ও 11 দ্বারা বিভাজ্য। 2776400 এর শেষে 400 (8 দ্বারা বিভাজ্য) এবং (2+7+4+0) - (7+6+0) = 13 - 13 = 0 (11 দ্বারা বিভাজ্য)।
17. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাটি 72 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 9936
- (B) 9948
- (C) 9972
- (D) 9986
ব্যাখ্যা: 9999 কে 72 দিয়ে ভাগ করলে 63 ভাগশেষ থাকে। 9999 - 63 = 9936।
18. চার অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাটি 88 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 9988
- (B) 9966
- (C) 9955
- (D) 9944
ব্যাখ্যা: 9999 কে 88 দিয়ে ভাগ করলে 55 ভাগশেষ থাকে। 9999 - 55 = 9944।
19. 1224, 4312, 5678, 7024 সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলি সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
ব্যাখ্যা: 1224, 4312 এবং 7024 এর শেষ তিনটি অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য। শুধু 5678 বিভাজ্য নয়। মোট 3টি সংখ্যা।
20. যদি সাত অঙ্কের সংখ্যা 57282p9, 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে (11 - p)-এর মান কত, যেখানে p > 0?
- (A) 8
- (B) 5
- (C) 10
- (D) 2
ব্যাখ্যা: (5+2+2+9) - (7+8+p) = 18 - 15 - p = 3 - p = 0 => p=3। (11 - 3) = 8।
21. দুই অঙ্কের বৃহত্তম কোন সংখ্যাটি 9 এবং 3 উভয় দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য?
- (A) 81
- (B) 87
- (C) 90
- (D) 99
ব্যাখ্যা: 9 এবং 3 এর লসাগু 9। দুই অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা যা 9 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো 99।
22. 3827 থেকে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে?
- (A) 5
- (B) 7
- (C) 9
- (D) 10
ব্যাখ্যা: 3827 কে 11 দিয়ে ভাগ করলে 10 ভাগশেষ থাকে। তাই 10 বিয়োগ করতে হবে।
23. নয় অঙ্কের একটি সংখ্যা 89563x87y, 72 দ্বারা বিভাজ্য। তাহলে √(7x - 3y)-এর মান কত?
- (A) 8
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 4
ব্যাখ্যা: 72 মানে 8 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য। 87y কে 8 দিয়ে ভাগ করলে y=2 পাওয়া যায়। অঙ্কগুলির যোগফল 48+x, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে x=6। √(7×6 - 3×2) = √36 = 6।
24. যদি নয় অঙ্কের সংখ্যা 7p5964q28, 88 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়, তবে q-এর সর্বোচ্চ মানের জন্য (p² - q)-এর মান নির্ণয় করুন।
- (A) 72
- (B) 81
- (C) 0
- (D) 9
ব্যাখ্যা: q28, 8 দ্বারা বিভাজ্য। সর্বোচ্চ q=9 (928/8=116)। 11 এর নিয়ম অনুযায়ী p=9 পাওয়া যায়। p² - q = 81 - 9 = 72।
25. যদি 6523678pq সংখ্যাটি 99 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে p এবং q-এর মান কত?
- (A) p = 4, q = 4
- (B) p = 6, q = 2
- (C) p = 2, q = 6
- (D) p = 3, q = 5
ব্যাখ্যা: 99 মানে 9 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য। 11 এর নিয়মে q-p = 4 এবং 9 এর নিয়মে p+q = 8। সমাধান করলে q=6 এবং p=2।
26. x-এর সর্বোচ্চ মান কত হওয়া উচিত যাতে 8343x5 সংখ্যাটি 125 দ্বারা বিভাজ্য হয়?
- (A) 7
- (B) 9
- (C) 8
- (D) এদের কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা: 125 দ্বারা বিভাজ্য হতে শেষ তিনটি অঙ্ক 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875 হতে হবে। 3x5 এর সাথে মেলে 375, তাই x=7।
27. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাটি 5, 7, 9 এবং 21 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য?
- (A) 315
- (B) 420
- (C) 630
- (D) 945
ব্যাখ্যা: 5, 7, 9 এবং 21 এর লসাগু হলো 315।
28. নীচের কোন সংখ্যাটি 5, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 1935
- (B) 1925
- (C) 1927
- (D) 1933
ব্যাখ্যা: 5, 7 এবং 11 এর গুণফল 385। 385 এর গুণিতক হলো 1925।
29. চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাটি 36 দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 1036
- (B) 1008
- (C) 1016
- (D) 1028
ব্যাখ্যা: 1000 কে 36 দিয়ে ভাগ করলে 28 ভাগশেষ থাকে। 1000 + (36-28) = 1008।
30. m-এর বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য মানের গুণফল নির্ণয় করুন যার জন্য 5m83m4m1 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে?
- (A) 80
- (B) 10
- (C) 40
- (D) 16
ব্যাখ্যা: অঙ্কগুলির যোগফল = 21 + 3m। m এর সম্ভাব্য মান 2, 5 এবং 8। বৃহত্তম 8, ক্ষুদ্রতম 2। গুণফল = 16।
31. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যার সাথে 17 যোগ করলে তা 5, 6 এবং 8 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে?
- (A) 23
- (B) 43
- (C) 73
- (D) 103
ব্যাখ্যা: 5, 6 এবং 8 এর লসাগু 120। সংখ্যাটি = 120 - 17 = 103।
32. যদি ছয় অঙ্কের সংখ্যা 5z3x4y, 7, 11 এবং 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে (x + y - z)-এর মান কত?
- (A) 4
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 3
ব্যাখ্যা: 7, 11, 13 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ABCABC প্যাটার্নের হয়। অর্থাৎ 5z3 = x4y => x=5, z=4, y=3। (5+3-4) = 4।
33. N = 475AB একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যার দশক এবং একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে A এবং B। যদি N সংখ্যাটি 5, 8 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে (10A + B)-এর মান নির্ণয় করুন।
- (A) 20
- (B) 60
- (C) 35
- (D) 15
ব্যাখ্যা: 5 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় B=0 এবং 5A0 8 দ্বারা বিভাজ্য হলে A=2। 9 এর নিয়মেও A=2 মেলে। 10(2)+0 = 20।
34. 142² - 1 সংখ্যাটি নীচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 19
- (B) 7
- (C) 9
- (D) 13
ব্যাখ্যা: 142² - 1² = (142-1)(142+1) = 141 × 143। 143 সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য (13×11=143)।
35. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 91, 127, 199 এবং 235-কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
- (A) 18
- (B) 34
- (C) 36
- (D) 42
ব্যাখ্যা: পার্থক্যগুলোর গসাগু: (127-91)=36, (199-127)=72, (235-199)=36। এদের গসাগু 36।
36. যদি একটি সংখ্যা 'a', 18 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং অপর একটি সংখ্যা 'b', 12 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে (a² - b²) নীচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য হবে?
- (A) 30
- (B) 36
- (C) 40
- (D) 48
ব্যাখ্যা: a=18k, b=12m হলে a²-b² = 324k² - 144m² = 36(9k² - 4m²), যা 36 দ্বারা বিভাজ্য।
37. A = 2 এবং 11 উভয় দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য 2 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। B = 6 এবং 13 উভয় দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য 3 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। B - A-এর মান কত?
- (A) 900
- (B) 848
- (C) 862
- (D) 908
ব্যাখ্যা: A = 88। 6 ও 13 এর লসাগু 78, 3 অঙ্কের বৃহত্তম গুণিতক B = 936। 936 - 88 = 848।
38. A = 4 এবং 7 উভয় দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য 2 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। B = 7 এবং 11 উভয় দ্বারাই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য 3 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা। B - A-এর মান কত?
- (A) 840
- (B) 880
- (C) 910
- (D) 920
ব্যাখ্যা: A = 84 (28 এর গুণিতক)। B = 924 (77 এর গুণিতক)। B - A = 924 - 84 = 840।
39. 23437⁵³²³ -এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 7
- (D) 9
ব্যাখ্যা: একক অঙ্ক 7। ঘাত 5323 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে। 7³ = 343, যার একক অঙ্ক 3।
40. 234⁴²⁰ -এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 8
ব্যাখ্যা: 4 এর ঘাত জোড় সংখ্যা হলে একক অঙ্ক সর্বদা 6 হয়।
41. (231 × 516 × 313 × 517 × 938 × 344)-এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 9
ব্যাখ্যা: একক অঙ্কগুলির গুণফল: 1×6×3×7×8×4 = 4032, একক অঙ্ক 2।
42. (312 × 316 × 295 × 525 × 329 × 627)-এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 0
- (D) 1
ব্যাখ্যা: গুণফলে একটি 5 এবং জোড় সংখ্যা (2, 6) থাকায় একক অঙ্ক 0 হবে।
43. 242 × 367 × 847-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি (unit digit) কী?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 4
- (D) 8
ব্যাখ্যা: 2 × 7 × 7 = 98, যার একক অঙ্ক 8।
44. 216²¹⁶-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি কী?
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 8
ব্যাখ্যা: 6 এর যেকোনো ঘাতে একক অঙ্ক সর্বদা 6 থাকে।
45. 2⁵ × 25² × 3⁷-এর গুণফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি কী?
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 0
- (D) 5
ব্যাখ্যা: 2 এবং 5 এর গুণফল থাকায় একক অঙ্ক 0 হবে।
46. 257⁴⁵ × 248⁷³-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি নির্ণয় করুন।
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 4
- (D) 6
ব্যাখ্যা: 7¹ × 8¹ = 56, একক অঙ্ক 6।
47. যদি N = 307³⁸ + 524²⁰ হয়, তবে N-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি কী হবে?
- (A) 6
- (B) 5
- (C) 3
- (D) 4
ব্যাখ্যা: 7² + 4 (জোড় ঘাত) = 9 + 6 = 15, একক অঙ্ক 5।
48. 263¹⁴⁹ + 263¹⁵⁰ + 263¹⁵¹-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি হলো:
- (A) 1
- (B) 9
- (C) 3
- (D) 7
ব্যাখ্যা: 3¹ + 3² + 3³ = 3 + 9 + 7 = 19, একক অঙ্ক 9।
49. 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 20!-এর একক স্থানীয় অঙ্কটি নির্ণয় করুন:
- (A) 5
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 9
ব্যাখ্যা: 5! এবং তার পরের সব ফ্যাক্টোরিয়ালের একক অঙ্ক 0। 1!+2!+3!+4! = 1+2+6+24 = 33, একক অঙ্ক 3।
50. (234³⁰² + 239³⁰³) -এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 5
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 9
ব্যাখ্যা: 4 (জোড় ঘাত) + 9 (বিজোড় ঘাত) = 6 + 9 = 15, একক অঙ্ক 5।
51. (25⁶²⁵¹ + 36⁵²⁸ + 73⁵⁴) -এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 0
- (D) 1
ব্যাখ্যা: 5 + 6 + 3² = 5 + 6 + 9 = 20, একক অঙ্ক 0।
52. (4384²⁴⁵ × 621⁷²) -এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।
- (A) 2
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 1
ব্যাখ্যা: 4 (বিজোড় ঘাত) × 1 = 4 × 1 = 4।
53. নীচের কোন সংখ্যাটি 5⁷¹ + 5⁷² + 5⁷³-কে সম্পূর্ণরূপে ভাগ করবে?
- (A) 150
- (B) 160
- (C) 155
- (D) 30
ব্যাখ্যা: 5⁷¹(1+5+25) = 5⁷¹ × 31। 5 × 31 = 155 দ্বারা বিভাজ্য।
54. (4⁶¹+4⁶²+4⁶³+4⁶⁴) সংখ্যাটি কত দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 3
- (B) 11
- (C) 13
- (D) 17
ব্যাখ্যা: 4⁶¹(1+4+16+64) = 4⁶¹ × 85। 85, 17 দ্বারা বিভাজ্য।
55. (3³¹ + 3³² + 3³³ + 3³⁴ + 3³⁵) সংখ্যাটি কত দ্বারা বিভাজ্য?
- (A) 17
- (B) 11
- (C) 13
- (D) 7
ব্যাখ্যা: 3³¹(1+3+9+27+81) = 3³¹ × 121, যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।
56. 360 এর মোট উৎপাদকের সংখ্যা কয়টি?
- (A) 12
- (B) 18
- (C) 24
- (D) 30
ব্যাখ্যা: 360 = 2³ × 3² × 5¹। উৎপাদক সংখ্যা = (3+1)(2+1)(1+1) = 24।
57. 360 এর সমস্ত উৎপাদকগুলির সমষ্টি কত?
- (A) 1270
- (B) 1070
- (C) 1170
- (D) 1370
ব্যাখ্যা: সমষ্টি = (2⁴-1)/(2-1) × (3³-1)/(3-1) × (5²-1)/(5-1) = 15 × 13 × 6 = 1170।
58. 15015-এর মৌলিক উৎপাদকগুলি হল—
- (A) 3, 5, 7, 11, 37
- (B) 3, 5, 7, 13, 37
- (C) 3, 5, 11, 13, 37
- (D) 3, 5, 7, 11, 13
ব্যাখ্যা: 15015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13।
59. 561 -এর মৌলিক উৎপাদকগুলির যোগফল কত?
- (A) 25
- (B) 31
- (C) 35
- (D) 40
ব্যাখ্যা: 561 = 3 × 11 × 17। যোগফল = 3+11+17 = 31।
60. 288-এর মোট ধনাত্নক গুণনীয়কের সংখ্যা কয়টি?
- (A) 18
- (B) 15
- (C) 10
- (D) 16
ব্যাখ্যা: 288 = 2⁵ × 3²। উৎপাদক সংখ্যা = 6 × 3 = 18।
61. 200-এর মোট ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 10
- (B) 12
- (C) 15
- (D) 18
ব্যাখ্যা: 200 = 2³ × 5²। উৎপাদক সংখ্যা = 4 × 3 = 12।
62. 180-এর মোট ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 12
- (B) 15
- (C) 18
- (D) 20
ব্যাখ্যা: 180 = 2² × 3² × 5¹। উৎপাদক সংখ্যা = 3 × 3 × 2 = 18।
63. 84 সংখ্যাটির কতগুলি উৎপাদক বিজোড় সংখ্যা?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 8
- (D) 6
ব্যাখ্যা: 84 = 2² × 3¹ × 7¹। বিজোড় উৎপাদক সংখ্যা = (1+1)(1+1) = 4।
64. 216-এর বিজোড় ভাজকগুলির সমষ্টি কত?
- (A) 600
- (B) 40
- (C) 14
- (D) 16
ব্যাখ্যা: 216 = 2³ × 3³। বিজোড় অংশের সমষ্টি = 3⁰+3¹+3²+3³ = 1+3+9+27 = 40।
65. 1800-এর জোড় উৎপাদকের (even factors) সংখ্যা কত?
- (A) 27
- (B) 50
- (C) 56
- (D) 26
ব্যাখ্যা: 1800 = 2³ × 3² × 5²। জোড় উৎপাদক সংখ্যা = 3 × 3 × 3 = 27।
66. 1400-এর জোড় উৎপাদকগুলির সমষ্টি কত হবে?
- (A) 3472
- (B) 4434
- (C) 3481
- (D) 3473
ব্যাখ্যা: 1400 = 2³ × 5² × 7¹। জোড় উৎপাদকের সমষ্টি = (2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)×(7⁰+7¹) = 14 × 31 × 8 = 3472।
67. যদি N = 2³ × 3² হয়, তবে N-এর মোট ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 5
- (B) 8
- (C) 12
- (D) 20
ব্যাখ্যা: উৎপাদক সংখ্যা = (3+1)×(2+1) = 12।
68. 5⁸×6⁷×11⁴ মোট মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 19
- (B) 22
- (C) 26
- (D) 28
ব্যাখ্যা: 5⁸ × (2×3)⁷ × 11⁴ = 5⁸ × 2⁷ × 3⁷ × 11⁴। ঘাতের সমষ্টি = 8+7+7+4 = 26।
69. 30⁵ × 24⁵ গুণফলটিতে মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা নির্ণয় করুন।
- (A) 45
- (B) 10
- (C) 35
- (D) 30
ব্যাখ্যা: (2×3×5)⁵ × (2³×3)⁵ = 2²⁰ × 3¹⁰ × 5⁵। মোট = 20+10+5 = 35।
70. 1 এবং সংখ্যাটি নিজে ব্যতীত 840 সংখ্যাটির মোট উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 28
- (B) 31
- (C) 30
- (D) 29
ব্যাখ্যা: 840 = 2³×3¹×5¹×7¹। মোট উৎপাদক = 4×2×2×2 = 32। 1 এবং নিজে বাদে = 32 - 2 = 30।
71. কোন সংখ্যাটি 2310-এর সমস্ত মৌলিক উৎপাদকের সমষ্টির চেয়ে এক কম?
- (A) 33
- (B) 25
- (C) 29
- (D) 27
ব্যাখ্যা: 2310 = 2×3×5×7×11। সমষ্টি = 28। এক কম = 27।
72. যদি N = 4¹¹ + 4¹² + 4¹³ + 4¹⁴ হয়, তবে N-এর মোট ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা কত?
- (A) 92
- (B) 48
- (C) 50
- (D) 51
ব্যাখ্যা: N = 4¹¹(1+4+16+64) = 4¹¹ × 85 = 2²² × 5¹ × 17¹। মোট উৎপাদক = 23 × 2 × 2 = 92।
73. 31 × 32 × 33-কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 1
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2
ব্যাখ্যা: 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষগুলি হলো 1, 2, 3। গুণফল = 1×2×3 = 6। 6 কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 1।
74. 1200-কে 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 0
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 5
ব্যাখ্যা: 1200 এর অঙ্কগুলির যোগফল = 3। তাই 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 হবে।
75. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 8, 14, 15 এবং 20 দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 5 ভাগশেষ থাকবে?
- (A) 835
- (B) 825
- (C) 845
- (D) 855
ব্যাখ্যা: 8, 14, 15 এবং 20 এর লসাগু = 840। 840 + 5 = 845।
76. একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 'n'-কে 12 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 5 থাকে। 8n² + 7-কে 12 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 2
- (B) 5
- (C) 3
- (D) 4
ব্যাখ্যা: n=5 ধরলে, 8(5²) + 7 = 207। 207 কে 12 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 থাকে।
77. একটি সংখ্যা 'y'-কে 225 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 33 থাকে। ওই একই সংখ্যাকে 15 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 'z' থাকে। z-এর মান হলো _____।
- (A) 4
- (B) 3
- (C) 2
- (D) 1
ব্যাখ্যা: 225, 15 দ্বারা বিভাজ্য। তাই 33 কে 15 দ্বারা ভাগ করলেই উত্তর পাওয়া যাবে। 33 ÷ 15 = 2 ভাগফল, ভাগশেষ 3।
78. বৃহত্তম কোন সংখ্যা দ্বারা 103, 121, 139 এবং 157-কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
- (A) 18
- (B) 9
- (C) 6
- (D) 8
ব্যাখ্যা: সংখ্যাগুলির পার্থক্য: (121-103)=18, (139-121)=18, (157-139)=18। এদের গসাগু 18।
79. একটি সংখ্যাকে 42 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 120 এবং ভাগশেষ 0 পাওয়া যায়। ওই একই সংখ্যাকে 41 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 40
- (B) 37
- (C) 38
- (D) 39
ব্যাখ্যা: সংখ্যাটি = 42 × 120 = 5040। 5040 কে 41 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 38 থাকে।
80. 36²⁹-কে 10 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 4
- (B) 2
- (C) 6
- (D) 0
ব্যাখ্যা: 36 এর যেকোনো ঘাতে একক অঙ্ক 6 থাকে। 10 দ্বারা ভাগ করলে একক অঙ্কটিই ভাগশেষ হয়।
81. 58²⁹-কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 7
- (B) 2
- (C) 4
- (D) 3
ব্যাখ্যা: 58 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে। 3²⁹ কে 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 3 হয়।
82. যদি 2³⁰⁵ + 303-কে 9 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 2
- (B) 1
- (C) 6
- (D) 4
ব্যাখ্যা: 2³⁰⁵ ≡ 5 (mod 9) এবং 303 ≡ 6 (mod 9)। 5+6=11 ≡ 2 (mod 9)।
83. যদি 31⁴⁷ + 43⁴⁷-কে 37 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) 0
- (D) 1
ব্যাখ্যা: aⁿ + bⁿ সর্বদা a+b দ্বারা বিভাজ্য (n বিজোড় হলে)। 31+43 = 74, যা 37 দ্বারা বিভাজ্য।
84. যদি 71⁸³ + 73⁸³-কে 36 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ কত হবে?
- (A) 0
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 13
ব্যাখ্যা: 71+73 = 144, যা 36 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য (36×4)।
85. A হলো 3 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা 14 এবং 20 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য। B হলো 3 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা যা 14 এবং 20 দ্বারা বিভাজ্য। B - A-এর মান কত?
- (A) 720
- (B) 900
- (C) 950
- (D) 840
ব্যাখ্যা: লসাগু = 140। 3 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম = 140 (A), 3 অঙ্কের বৃহত্তম = 980 (B)। 980 - 140 = 840।
86. যদি N = (24³ + 25³ + 26³ + 27³) হয়, তবে N-কে 102 দ্বারা ভাগ করলে ____ ভাগশেষ পাওয়া যাবে?
- (A) 1
- (B) 12
- (C) 18
- (D) 0
ব্যাখ্যা: (24³+27³) এবং (25³+26³) যোগ করলে 51 এর গুণিতক পাওয়া যায়। যেহেতু এটি জোড় সংখ্যা, তাই এটি 102 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।
87. B = 700 - A। যখন B-কে 3, 4 এবং 5 দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন প্রতি ক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকে। A-এর মান কত?
- (A) 35
- (B) 37
- (C) 41
- (D) 39
ব্যাখ্যা: B সংখ্যাটি 60k + 1 আকারের। k=11 হলে B = 661, যা 700 এর কাছাকাছি। A = 700 - 661 = 39।
88. 1 × 2 × 3 × ... × 163-এর শেষে কতগুলি শূন্য (number of zeros) থাকবে?
- (A) 39
- (B) 40
- (C) 38
- (D) 35
ব্যাখ্যা: 163/5 + 163/25 + 163/125 = 32 + 6 + 1 = 39টি শূন্য।
89. 5 × 10 × 15 × ... × 265-এর শেষে কতগুলি শূন্য থাকবে?
- (A) 65
- (B) 67
- (C) 66
- (D) 49
ব্যাখ্যা: এটি 5⁵³ × 53! এর সমান। এখানে 5 এর সংখ্যা অনেক বেশি, তাই 2 এর সংখ্যা হিসাব করতে হবে। 53! এ 2 এর সংখ্যা 49টি। তাই 49টি শূন্য।
90. 475! এর শেষে অনুগামী শূন্যের (trailing zeros) সংখ্যা নির্ণয় করুন।
- (A) 117
- (B) 137
- (C) 147
- (D) 127
ব্যাখ্যা: 475/5 + 475/25 + 475/125 = 95 + 19 + 3 = 117।
91. 40⁴⁰ × 3¹⁶ × 6⁸⁰ × 5¹⁰⁰ রাশিমালাটির শেষে কতগুলি শূন্য থাকবে?
- (A) 140
- (B) 50
- (C) 52
- (D) 150
ব্যাখ্যা: মোট 2 এর ঘাত 200 এবং 5 এর ঘাত 140। জোড়া তৈরি হবে 140টি।
92. 40 এবং 50-এর মধ্যবর্তী সমস্ত মৌলিক সংখ্যাগুলির সমষ্টি কত?
- (A) 126
- (B) 131
- (C) 137
- (D) 128
ব্যাখ্যা: 41, 43, 47। সমষ্টি = 131।
93. 20 এবং 40-এর মধ্যবর্তী সমস্ত মৌলিক সংখ্যাগুলির সমষ্টি কত?
- (A) 110
- (B) 125
- (C) 120
- (D) 130
ব্যাখ্যা: 23, 29, 31, 37। সমষ্টি = 120।
94. 70 এবং 80-এর মধ্যে কতগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 5
- (D) 2
ব্যাখ্যা: 71, 73, 79। মোট 3টি।
95. 1 থেকে 102 পর্যন্ত এমন কতগুলি সংখ্যা রয়েছে যা 5-এর গুণিতক?
- (A) 18
- (B) 19
- (C) 20
- (D) 21
ব্যাখ্যা: 102 / 5 = 20।
96. প্রদত্ত জোড়াগুলির মধ্যে কোনটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা (co-prime numbers)-র জোড় তৈরি করে?
- (A) (36, 15)
- (B) (9, 63)
- (C) (21, 42)
- (D) (11, 21)
ব্যাখ্যা: 11 এবং 21 এর মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
97. তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল 42। তিনটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গুণফল কত?
- (A) 198
- (B) 186
- (C) 192
- (D) 190
ব্যাখ্যা: সংখ্যাগুলি 12, 14, 16। 12 × 16 = 192।
98. একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং তার ঘন (cube)-এর যোগফল 350। সংখ্যাটির মান কত?
- (A) 7
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 12
ব্যাখ্যা: 7 + 7³ = 7 + 343 = 350।
99. 1 + 2 + 3 + ... + 50 = ?
- (A) 1225
- (B) 1245
- (C) 1275
- (D) 1250
ব্যাখ্যা: সূত্র n(n+1)/2 = 50(51)/2 = 1275।
100. 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 100 = ?
- (A) 1770
- (B) 1717
- (C) 1777
- (D) 1177
ব্যাখ্যা: এটি একটি সমান্তর ধারা (AP), পদসংখ্যা 34। সমষ্টি = 34/2 × (1+100) = 1717।
101. 4 + 8 + 12 + 16 + ... + 88 = ?
- (A) 1112
- (B) 1012
- (C) 1225
- (D) 1220
ব্যাখ্যা: 4(1+2+...+22) = 4 × 22×23/2 = 1012।
102. 1² + 2² + 3² + ... + 20² = ?
- (A) 2870
- (B) 2850
- (C) 2750
- (D) 2800
ব্যাখ্যা: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো n(n+1)(2n+1)/6। এখানে n = 20। অতএব, সমষ্টি = (20 × 21 × 41) / 6 = 70 × 41 = 2870।
103. 21² + 22² + 23² + ... + 50² = ?
- (A) 41155
- (B) 40055
- (C) 40000
- (D) 41000
ব্যাখ্যা: 1 থেকে 50 এর বর্গের সমষ্টি - 1 থেকে 20 এর বর্গের সমষ্টি = 42925 - 2870 = 40055।
104. 1³ + 2³ + 3³ + ... + 25³ = ?
- (A) 104000
- (B) 105000
- (C) 105576
- (D) 105625
ব্যাখ্যা: সূত্র (n(n+1)/2)² = (25×26/2)² = 325² = 105625।
105. 1-100 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা কত?
- (A) 24
- (B) 25
- (C) 26
- (D) 27
ব্যাখ্যা: 1 থেকে 100 এর মধ্যে মোট 25টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে (যেমন: 2, 3, 5, 7, 11, ..., 97)।
106. চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কত?
- (A) 1001
- (B) 1003
- (C) 1007
- (D) 1009
ব্যাখ্যা: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো 1000, যা মৌলিক নয়। এরপর 1001 (7×11×13), 1003 (17×59) এবং 1007 (19×53) সংখ্যাগুলোও মৌলিক নয়। চার অঙ্কের প্রথম এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো 1009।
Social Plugin